Struktur Data Multilevel

ICC

Korelasi intraklas atau intraclass correlation (ICC) merupakan rasio antara variansi antar grup dengan variansi total yang dilambangkan dengan \({\rho}_1\) dalam populasi. ICC berkisar antara 0 (tidak ada varians antar klaster) hingga 1 (ada varians antar klaster tetapi tidak ada varians dalam klaster). Secara matematis ICC dapat dirumuskan sebagai berikut.

\[ {\rho}_1=\frac {\tau^2}{\tau^2+\sigma^2} \]

dimana

\(\tau^2\) adalah variansi populasi antar klaster dan \(\sigma^2\) adalah variansi populasi dalam klaster

Semakin tinggi nilai ICC, semakin ada keragaman antar grup/klaster

Intersep Acak

Intersep didefinsikan sebagai kondisi rata-rata dari \(y\) ketika nilai \(x\) adalah 0. Dalam konteks model regresi sederhana, terdapat satu intersep pada semua individu dalam populasi penelitian. Namun, ketika individu-individu dikelompokkan, misalnya dalam kelas, sekolah, atau perusahaan, ada potensi intersep menjadi terpisah untuk masing-masing kelompok.

Persamaan model regresi level 1 pada pemodelan multilevel:

\[ y_{ij}=\beta_{0j}+\beta_{1j}x+\epsilon_ij \]

dengan \(ij\) menyatakan individu ke- \(i\) dan kelompok ke- \(j\).

intersep acak untuk setiap grup:

\[ y_{ij}=\beta_{0j}+\epsilon_{ij} \]

intersep acak:

\[ \beta_{0j}=\gamma_{00}+U_{0j} \] \(\gamma_{00}\) menyatakan nilai intersep rata-rata di semua klaster, sedangkan \(U_{0j}\) adalah efek spesifik grup pada intersep. Jika klaster diasumsikan acak, \(U_{0j}\) dapat didefinisikan sebagai efek sisa pada \(y_{ij}\)

Jika kedua persamaan intersep acak di substitusikan ke dalam persamaan model regresi maka diperoleh model penuh atau komposit:

\[ y=\gamma_{00}+U_{0j}+\beta_1x+\epsilon \]

Dalam MLM, seringkali analisis dimulai dengan model nol (null model) yang dapat dinotasikan sebagai berikut. Model nol digunakan sebagai dasar untuk membuat model dan sebagai perbandingan model.

\[ y_{ij}=\gamma_{00}+U_{0j}+\epsilon_{ij} \]

Model Slope Acak

Model intersep acak dapat diperluas dengan mengakomodasi satu atau lebih variabel prediktor. Misalnya menambahkan satu prediktor \(x_{ij}\) pada model tingkat 1, sehingga diperoleh:

\[ y_{ij}=\gamma_{00}+\gamma_{10}x_{ij}+U_{0j}+\epsilon_{ij} \]

Model tersebut dapat dinyatakan dalam 2 level yang berbeda yaitu:

Level 1:

\[ y_{ij}=\beta_{0j}+\beta_{1j}x+\epsilon_{ij} \]

Level 2:

\[ \beta_{0j}=\gamma_{00}+U_{0j} \]

\[ \beta{ij}=\gamma_{10} \] Model tersebut mencakup prediktor dan slope yang menghubungkannya dengan variabel dependen, \(\gamma_{10}\) pada level 1 dengan subskrip \(10\). \(\gamma_{10}\) didefinisikan sama seperti kita mendefinisikan \(\beta_1\) pada model regresi, yaitu ukuran dampak terhadap \(y\) dari perubahan 1 satuan \(x\). Selain itu, dalam model ini \(\gamma_{10}\) dan \(\gamma_{00}\) merupakan model tetap, sedangkan \(\sigma^2\) dan \(\tau^2\) merupakan model acak.

Salah satu implikasi model pada persamaan 2.12 adalah variabel terikat dipengaruhi oleh variasi antar individu (\(\sigma^2\)), variasi antar kelompok (\(\tau^2\)), rata-rata semua kelompok (\(\gamma_{00}\)), dan pengaruh variabel independen yang diukur dengan \(\gamma_{10}\) yang juga umum untuk semua klaster.

Dalam praktinya tidak ada alasan bahwa pengaruh \(x\) pada \(y\) harus bersifat umum untuk semua klaster, namun sangat mungkin terjadi satu \(\gamma_{10}\) umum untuk semua klaster. Terdapat efek unik klaster \(\gamma_{10}+U_{1j}\), dimana \(\gamma_{10}\) adalah hubungan rata-rata \(x\) dengan \(y\) di seluruh klaster dan \(\U_{1j}\) adalah variasi hubungan kedua variabel tersebut. \(\gamma_{10}+U_{1j}\) diasumsikan memiliki rata-rata ) dan bervariasi secara acak di sekitar \(\gamma_{10}\). Sehingga model slope acak dapat dinotasikan dengan:

\[ y_{ij}=\gamma_{00}+\gamma_{10}x_{ij}+U_{0j}+U_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij} \]

Sesuai dengan persamaan di atas, model tetap dan model acak dapat ditulis seperti berikut.

Model tetap (fixed): \(\gamma_{00}+\gamma_{10}x_{ij}\)

Model acak (random): \(U_{0j}+U_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij}\)

Model pada persamaan di atas ada interaksi antara klaster dan \(x\), sehingga hubungan antara \(x\) dan \(y\) tidak konstan di semua klaster.

Overview of Two level MLMs

Sebelumnya kita mengetahui random slope model:

\[ y_{ij}=\gamma_{00}+\gamma_{10}x_{ij}+U_{0j}+U_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij} \] Misalnya \(y_{ij}\) adalah variabel dependen capaian membaca, \(x_{ij}\) adalah variabel independen skor PV1READ, serta random error di level siswa dan sekolah.

Kita dapat memperluas model slope acak di atas dengan memasukkan beberapa variabel independen baik di level 1 maupun level 2. Selain untuk mengetahui hubungan antara skor PV1READ dan capaian membaca siswa, kita bisa mengetahui sejauh mana rata-rata PV1READ di level sekolah dengan skor PV1READ siswa. Model ini pada dasarnya memiliki dua bagian, model pertama menjelaskan hubungan antara PV1READ individu (\(x_{ij}\)) dan capaian membaca, serta model lain menjelaskan koefisien pada level 1 sebagai fungsi dari prediktor level 2, yaitu rata-rata Pv1READ (\(Z_j\)).

Level 1:

\[ y_{ij}=\beta_{0j}+\beta_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij} \]

dan level 2: \[ \beta_{hj}=\gamma_{h0}+\gamma_{h1}Z_j+U_{hj} \]

Tambahan dari persamaan di atas adalah \(y_{h1}Z_{j}\) yang merepresentasikan nilai slope untuk \(y_{h1}\) dan nilai rata-rata PV1READ \(Z_j\). Dengan kata lain, rata-rata capaian sekolah berhubungan langsung dengan koefisien yang menghubungkan skor PV1READ siswa dengan capaian membaca siswa. Dua persamaan pada level 1 dan level 2 di atas dapat digabung menjadi satu persamaan untuk MLM tingkat dua berikut.

\[ y_{ij}=\gamma_{00}+\gamma_{10}x_{ij}+\gamma_{01}Z_j+\gamma_{1001}x_{ij}Z_j+U_{0j}+U_{1j}X_{ij}+\epsilon_{ij} \]

Dimana \(\gamma_{00}\) adalah intersep, \(\gamma_{10}\) adalah efek tetap dari varabel \(x\) (PV1READ), \(U_{0j}\) merepresentasikan variasi acak untuk intersep antar grup, dan \(U_{1j}\) mewakili variasi random slope acak antar grup. \(\gamma_{01}\) mewakili efek tetap dari variabel level 2 (rata-rata PV1READ). \(\gamma_{11}\) mewakili slope dan nilai rata-rata variabel level 2. \(\gamma_{1001}x_{ij}Z_j\) adalah crosslevel interaksi, yaitu interaksi antara prediktor level 1 dan level 2. Dalam hal ini adalah interaksi antara skor PV1READ siswa dan rata-rata skor PV1READ sekolah.